SKRIPSI Jurusan Matematika - Fakultas MIPA UM, 2009

Ukuran Huruf:  Kecil  Sedang  Besar

ANALISIS BENTUK KUADRAT IRISAN KERUCUT PADA SISTEM KOORDINAT-XY

Akhmad Habibi walidil kutub

Abstrak


ABSTRAK

 

Kutub, Ahmad.H.W. 2009. Analisis Bentuk Kuadrat Irisan Kerucut dalam Sistem Koordinat-XY. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang. Pembimbing: (I) Dr. Sisworo, S.Pd.,M.Si. (II) Drs. Slamet, M.Si.

 

Kata kunci: bentuk kuadrat, irisan kerucut

 

Pada dimensi dua, irisan kerucut merupakan persamaan kuadrat dengan dua variabel. Secara umum, persamaan irisan kerucut dapat ditulis sebagai , dengan a, b, dan c tidak semuanya nol. Jika b≠0 maka persamaan irisan kerucut ini mempunyai suku hasil kali silang dan dinamakan persamaan irisan kerucut yang ter-degenerte. Jika b=0 maka persamaan irisan kerucut, tidak mempunyai suku hasil kali silang dan dinamakan persamaan irisan kerucut yang tak ter-degenerte. Proses identifikasi serta penyederhanaan persamaan irisan kerucut tak terdegenerate tidak sama dengan identifikasi dan penyederhanaan persamaan irisan kerucut yang tak terdegenerate.

Untuk menganalisa suatu persamaan irisan kerucut yang degenerate, dilakukan suatu tranformasi dengan mendiagonalkan matriks bentuk kuadrat irisan kerucut, sehingga diperoleh suatu persamaan baru tanpa suku hasil kali silang. Bentuk kuadrat irisan kerucut dapat dibawa ke dalam bentuk matriks, misal XTAX dengan X = dan A = . Dengan mengaplikasikan nilai karakteristik (nilai eigen) dari matriks A, diperoleh suatu matriks P yang mendiagonalkan matriks A secara ortogonal, sehingga PTAP merupakan matriks diagonal dengan koefisien diagonal utamanya adalah nilai karakteristik matriks A. Dengan memisalkan , akan diperoleh suatu persamaan irisan kerucut yang baru tanpa suku hasil kali silang.

Pada skripsi ini, dibahas bentuk kuadrat yang ter-degenerate, dan diubah menjadi bentuk kuadrat yang tak ter-degenerate dengan menyederhanakan atau mentransformasikkan bentuk tersebut, yakni dengan mengdiagonalisasi matriks A sehingga diperoleh suatu matriks diagonal dengan koefisien diagonal utamanya adalah nilai eigen. Suatu persamaan irisan kerucut dipengaruhi oleh nilai karakteristiknya. Jika kedua nilai karakteristik tidak keduanya nol, maka akan diperoleh irisan kerucut berupa elips, hiperbola atau lingkaran, sedangkan jika salah satu dari nilai karakteristiknya nol, diperoleh irisan kerucut berupa parabola.

ABSTRACT

 

Kutub, Ahmad.H.W. 2009. Analisis Bentuk Kuadrat Irisan Kerucut dalam Sistem Koordinat-XY. Thesis, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang. Advisors: (I) Dr. Sisworo, S.Pd.,M.Si. (II) Drs. Slamet, M.Si.

 

Key word: Quadratic form, conic section

 

On two dimension, a conic section is a quadratic equation with two variables. Generally, a conic section equation was denoted as , with a, b, and c are all non-zero. If b≠0 then the equation has a term of cross product and said as a degenerate conics section equation, If b=0 then the conics section equation has no cross product term and said as a non-degenerate conics section equation. It means that, process of its a degenerate conics section equation identification and simplification are not same as non degenerate conic section equation.

To analyze a degenerate conic section equation, transformed the equation by diagonalizing matrix of conic section quadratic form, so be obtained a new equation without no cross product term. A quadratic of conic section form can be transform to the matrix form. For example, XTAX with X = and A = . Implicate the eigenvalue of matrix A, will be obtained a matrix P diagonally matrix A orthogonally. Thus, PTAP is  a diagonal matrix whose main diagonal elements are an eigenvalue of matrix A. Letting , will be obtained a new equation of conics section without term of cross product.

This thesis discusses a degenerate quadratic form and be changed to non-degenerate form by simplify or transformation its form. That is by diagonalizing matrix A will be obtained a diagonal matrix whose main diagonal elements are an eigenvalue of matrix A. An equation of conic section, is influenced by its eigenvalue, if all of the eigenvalue are all non-zero, then the quadratic form represents an ellipse, hyperbolic or circle, else if one of them zero, then the quadratic form represents an parabola.

 


Teks Penuh: Habibi-DOC Habibi-PDF