SKRIPSI Jurusan Fisika - Fakultas MIPA UM, 2013

Ukuran Huruf:  Kecil  Sedang  Besar

Fungsi Harmonik dan Penerapan Persamaan Laplace dalam Menyelesaikan Masalah Nilai Batas pada Koordinat Polar

THORIQ AZIZ

Abstrak


ABSTRAK

 

Aziz, Thoriq. 2013. Fungsi Harmonik dan Penerapan Persamaan Laplace dalam Menyelesaikan Masalah Nilai Batas pada Koordinat Polar . Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang. Pembimbing: Drs. Tjang Daniel Chandra, M.Si., Ph.D.

 

Kata kunci : Fungsi Harmonik, Persamaan Laplace, Koordinat Polar, Permasalahan Nilai Batas.

Persamaan diferensial mempelajari berbagai macam materi yang berguna untuk penelitian. Salah satunya Persamaan Laplace yang merupakan materi dalam persamaan diferensial. Persamaan tersebut  dapat digunakan untuk menentukan fungsi harmonik yaitu dengan mencari solusi persamaan Laplace, karena menurut Nakhle (2004), u(x,y) disebut fungsi harmonik jika memenuhi persamaan Laplace. Banyak proyek permasalahan yang dapat dikaji dalam persamaan diferensial Fungsi harmonik dan penerapannya merupakan salah satu permasalahan yang belum dikaji.

Fungsi harmonik adalah solusi dari persamaan Laplace. ∆ adalah operator diferensial didefinisikan sebagai berikut ∆=∂^2/(∂x_1^2 )+⋯+∂^2/(∂x_n^2 ). Menurut Badger (2010:1), misal R^n mendefinisikan Ruang Euclid berdimensi-n, sehingga R^1 adalah garis, R^2 adalah bidang dan seterusnya. Misal F⊂R^n adalah domainnya, suatu fungsi u:F→R harmonik jika u mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dan turunan parsial tersebut jika dijumlahkan hasilnya sama dengan nol yaitu u_(x_1 x_1 )+u_(x_2 x_2 )+⋯+u_(x_n x_n )=0. Beberapa sifat fungsi harmonik adalah jika u dan v adalah harmonik dan α dan β adalah suatu bilangan maka αu+βv adalah harmonik; Hasil kali dua fungsi harmonik u dan v belum tentu harmonik; Jika u dan u^2 adalah harmonik maka u harus suatu konstanta; Jika u,v dan u^2+v^2 adalah harmonik maka u dan v harus konstanta

Penerapan persamaan Laplace digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai batas pada koordinat polar dalam domain berbeda. Terdapat empat tipe domain yang berbeda pada domain ruang Euclid dua dimensi dalam koordinat polar yaitu tipe daerah dalam suatu cakram (Disk), tipe irisan dengan kondisi Robin, tipe annulus, dan tipe daerah luar suatu cakram (Disk). Sedangkan dalam domain ruang Euclid tiga dimensi ada tipe permasalahan dirichlet pada koordinat silinder dengan temperatur bagian selimut sama dengan V_0.